Линейное приближение: частота перерасчёта удобнее точности расчёта

Автор: Анатолий Вассерман

В 1834‑м году Бенуа Поль Эмиль Клапейрон (1799.02.26–1864.01.28) объединил ранее известные законы поведения газа при разных условиях в уравнение состояния — формулу связи плотности с давлением и температурой. В ней свой коэффициент для каждого газа. В 1874‑м Дмитрий Иванович Менделеев (1834.02.08–1907.02.02) преобразовал уравнение Клапейрона — вместо массы газа использовал количество молекул. Коэффициент стал единым для всех газов — универсальной газовой постоянной. В таком виде уравнение Клапейрона–Менделеева стало удобным. Хотя описывает только идеальный газ — условия, когда размером и взаимодействием молекул можно пренебречь. Именно поэтому оно линейно: все переменные входят в него в первой степени.

В 1873‑м Йоханнес Дидерик Якобусович ван дер Ваальс (1837.11.23–1923.03.08) в диссертации описал размер и взаимодействие так, что смог вывести учитывающее их уравнение состояния, описывающее поведение и газа, и жидкости. Объём входит в него не только в первой, но и во второй степени.

Последующие разработчики пользовались нелинейностями посложнее — например, элементарными функциями вроде экспоненты. Всё ради повышения точности описания сложного поведения газа формулой с минимумом компонентов. Благо величины корней разной степени, логарифмов, тригонометрических и многих других функций с давних времён документированы в печатных справочниках или определяются на простых инструментах вроде логарифмической линейки с достаточной для инженерных и научных расчётов точностью.

Мой отец Александр Анатольевич Вассерман (1931.10.01–2021.05.12) в последние шесть десятилетий жизни занимался прежде всего разработкой методов составления уравнений состояния. Ещё к концу 1960‑х он показал (и в дальнейшей работе использовал): с распространением цифровых электронных вычислительных машин (с англосаксонской подачи мы теперь их называем просто вычислитель — компьютер, а тогда пользовались сокращениями ЦЭВМ или ЭВМ) оптимальной становится вириальная форма уравнения, куда температура, давление и плотность входят многократно в разных степенях с разными коэффициентами, а прочие функции от этих переменных не применяются. Дело в том, что машине несравненно проще возводить в любые степени, чем вычислять экспоненты или, скажем, тангенсы. Вириальное уравнение с доброй сотней коэффициентов подсчитывается быстрее, чем один логарифм.

Отец разработал также метод выявления члена уравнения, дающего наименьший вклад в согласование с экспериментальными данными, на чьей основе вычисляются коэффициенты при степенях. Если его отбросить и соответственно скорректировать коэффициенты при других, точность описания свойств не ухудшится. Последовательное применение метода позволяет сократить уравнение в 1.5–2 раза, не выходя за пределы погрешности эксперимента.

Вириальная форма вроде бы обоснована и теоретически: мол, каждый член описывает взаимодействие стольких частиц, какова сумма показателей степеней в нём (как вторая степень в уравнении ван дер Ваальса указывает на парное взаимодействие). Описанное ван дер Ваальсом взаимодействие физически порождается деформацией электронных оболочек атомов или молекул вследствие взаимовлияния их электрических полей. В частности, взаимодеформация оболочек двух молекул приводит к тому, что с третьей молекулой они взаимодействуют иначе, нежели каждая из них могла бы по отдельности.

Увы, вандерваальсово взаимодействие даже в классическом приближении весьма нелинейно и не сводится к степенной зависимости (в институте один из преподавателей попросил меня взять шестикратный интеграл, описывающий исследуемую им в тот момент конфигурацию — и уже при переводе четвёртого интеграла в аналитическую форму я запутался). Квантовая же механика, изначально разработанная как раз для атомов, молекул и обычных расстояний между ними, и подавно далека от линейности. Поэтому вириальная форма уравнения состояния не столько выработана теоретически, сколько на практике доказала своё удобство: уже при паре десятков членов она описывает газ и жидкость в пределах погрешности современного эксперимента, а полусотни хватит для любой точности, допустимой законами квантовой механики.

Интегралы редко имеют аналитическое — выражаемое совокупностями элементарных функций и арифметических действий — представление. Их, как правило, приходится брать приближённо — грубо говоря, измерять, а не вычислять, площадь под кривой, представляющей формулу под интегралом. Когда считали вручную, кривую чаще всего приближали набором коротких парабол: площадь под параболой описывается довольно простой формулой и в то же время отклонения от даже довольно сложных кривых приемлемо малы. Но с распространением ЦЭВМ постепенно перешли от парабол к наклонным или даже горизонтальным прямым (я стал программистом как раз в начале перехода): таких отрезков для достижения требуемой точности нужно в разы больше, зато каждый из них обсчитывается существенно меньшим числом арифметических действий. Сходным образом эволюционировали по мере наращивания вычислительной мощности многие методы приближённых расчётов. В том числе, кстати, уравнения состояния. Но не только.

Век назад советское государство начало формировать систему единого управления многими предприятиями сходного профиля. Василий Васильевич Леонтьев (1905.08.05–1999.02.05) показал: планирование производства требует решения матрицы материального баланса. В такой системе линейных уравнений каждая строка и каждый столбец соответствует виду продукции, а в клетках записано: сколько единиц одной продукции нужно для производства единицы другой. Свободные члены уравнений указывают, сколько нужно каждой продукции не на дальнейшее производство, а на конечное потребление. В 1973‑м Леонтьев получил Нобелевскую премию по экономике «за развитие метода «затраты–выпуск» и за его применение к важным экономическим проблемам». Межотраслевая матрица стала основой работы Госплана. И поначалу решалась сравнительно несложно: отраслей было всего несколько десятков.

Число арифметических действий для решения системы линейных уравнений в общем случае пропорционально третьей степени числа самих уравнений. В матрице материального баланса много пустых клеток, что снижает для неё показатель степени примерно до 2.5 — при десятке строк число действий сокращается втрое, а при сотне уже в три тысячи раз. Чтобы не просто сбалансировать план — свести гайки с болтами, а выбрать наилучший, нужно проверить примерно столько вариантов, сколько строк в системе. Итак, показатель для числа действий при планировании — примерно 3.5: для десятка отраслей нужно несколько тысяч операций, для сотни — несколько миллионов…

Увы, отрасли слишком сложны, чтобы их баланс был безупречен. Если же обсчитывать отдельные изделия (с точностью до каждого типа гаек), уравнений порядка сотни миллионов. Вычислительная мощность, нужная для их ежесуточного решения, накопится примерно к концу нынешнего десятилетия (и то если сохранится нынешняя скорость развития мирового компьютерного парка). По предварительным прикидкам, планирование мирового производства как единого целого повысит общую производительность в разы.

Но линейны ли уравнения Леонтьева? Так, производственные затраты, вписанные в клетки матрицы, заметно зависят от технологии, а та зачастую — от размаха производства. Уж и не говорю о нелинейной зависимости спроса от цены — а спрос определяет не только свободные члены уравнений, но и те же производственные затраты, заставляя больше использовать то, что дешевле.

Любая погрешность планирования — в том числе вследствие нелинейности фактических закономерностей — приводит к отклонению результата от плана. Его должен учесть следующий план. Чем чаще планируем — тем, естественно, меньше рассогласования. При ежедневном планировании (с автоматическими сбором исходных данных и передачей заданий на рабочие места) поправки будут достаточно малы, чтобы не дезорганизовать работу радикальными перенастройками. Отсюда моя оценка нужной вычислительной мощности.
Исследовать нелинейности любопытно. Но не всегда важно.